Dénombrement
Compter des arrangements, combinaisons et tirages
Réflexe 1 — Identifier le type de tirage
Arbre de décision
1Un seul ensemble ? → Continuer. Plusieurs ensembles → principe multiplicatif (ou additif si "ou")
2L'ordre compte ? → Oui : permutation/arrangement. Non : combinaison
3Remise ? → Oui : nk (k-uplets). Non → continuer
4Tout l'ensemble ? → Oui : n! (permutation). Non : arrangement ou combinaison
Réflexe 2 — Formules à connaître
| Situation | Formule | Conditions |
|---|
| Permutation (ordre, tout) | n! | — |
| Permutation avec répétitions (a éléments semblables) | n! / a! | a ≤ n |
| Arrangement (ordre, sans remise, k parmi n) | n! / (n−k)! | k ≤ n |
| K-uplets (ordre, avec remise) | nk | — |
| Combinaison (sans ordre, sans remise) | C(n,k) = n! / (k!(n−k)!) | k ≤ n |
Réflexe 3 — Plusieurs événements
Principe additif vs multiplicatif
OU (cas disjoints) → Addition : A + B
ET (indépendants) → Multiplication : A × B
Ex : choisir 1 livre parmi 3 romans OU 2 BD → 3 + 2 = 5 façons
Ex : 1 chemise parmi 4 ET 1 pantalon parmi 3 → 4 × 3 = 12 tenues
Réflexe 4 — Complémentaire
Quand "au moins un" ou "au moins deux" : penser au
complémentaire.
Cas favorables = Total − Cas interdits
Récurrence
Démontrer une propriété vraie pour tout entier naturel n
Structure obligatoire en 3 étapes
①Initialisation — Vérifier que P0 (ou P1) est vraie. Calculer explicitement.
②Hérédité — Supposer Pn vraie pour un n fixé, montrer Pn+1 vraie. Écrire "Supposons qu'il existe n tel que Pn soit vraie".
③Conclusion — "Pn est initialisée et héréditaire, elle est donc vraie pour tout n ∈ ℕ."
Réflexe — Hérédité en pratique
Comment passer de Pn à Pn+1
1Écrire ce qu'affirme Pn (hypothèse de récurrence HR)
2Exprimer Un+1 via la relation de récurrence donnée
3Substituer HR dans l'expression de Un+1
4Conclure que Pn+1 est vraie
Ne jamais partir de ce qu'on veut démontrer. Partir de l'hypothèse.
Limites de Suites
Formes indéterminées, convergence, théorèmes
Réflexe 1 — Les 4 formes indéterminées
+∞ − ∞ | ∞ × 0 | ∞/∞ | 0/0
Ces formes ne donnent aucune information directement. Il faut lever la forme indéterminée.
Réflexe 2 — Lever "+∞ − ∞" avec polynômes
Factoriser par le
terme du plus haut degré :
(n² − 2n + 1) → n² (1 − 2/n + 1/n²)
Puis lim 1/n = 0 → limite = signe de n²
Réflexe 3 — Lever "+∞ − ∞" avec racines
Multiplier et diviser par le
conjugué :
(n − √(n²+2)) × (n + √(n²+2)) / (n + √(n²+2))
= (n² − (n²+2)) / (n + √(n²+2)) = −2 / (n + √(n²+2)) → 0
Réflexe 4 — Suites géométriques (lim qn)
| Raison q | lim qn |
|---|
| q > 1 | +∞ |
| q = 1 | 1 |
| |q| < 1 (−1 < q < 1) | 0 |
| q ≤ −1 | pas de limite |
Lever "∞ − ∞" expo : factoriser par la base la plus élevée
Ex : 5ⁿ − 3ⁿ = 5ⁿ(1 − (3/5)ⁿ) → +∞
Réflexe 5 — Convergence (théorèmes)
| Théorème | Condition | Conclusion |
|---|
| Limite monotone | un croissante et majorée (ou décroissante et minorée) | un converge |
| Gendarmes | an ≤ un ≤ bn et lim an = lim bn = L | lim un = L |
| Comparaison | un ≤ vn et lim un = +∞ | lim vn = +∞ |
Réflexe 6 — Suites oscillantes (−1)n, cos(n), sin(n)
−1 ≤ (−1)ⁿ ≤ 1
−1 ≤ cos(n) ≤ 1
Si la suite peut être encadrée entre deux valeurs égales → gendarmes. Sinon → pas de limite (diverge).
Limites de Fonctions
Formes indéterminées, comparaison, asymptotes
Réflexe 1 — Lever les F.I.
| Cas | Méthode |
|---|
| Polynômes / quotient | Factoriser par le terme du plus haut degré |
| Racines | Multiplier × conjugué puis simplifier |
| Exp vs puissance | Croissances comparées |
| Ln vs puissance | Croissances comparées |
Réflexe 2 — Croissances comparées (à mémoriser)
lim xⁿ·eˣ = 0 (x→−∞) | lim eˣ/xⁿ = +∞ (x→+∞)
lim xⁿ·ln(x) = 0 (x→0⁺) | lim ln(x)/xⁿ = 0 (x→+∞)
L'exponentielle domine toujours la puissance, qui domine le logarithme.
Réflexe 3 — Théorèmes de comparaison
| Situation | Théorème | Conclusion |
|---|
| f(x) ≤ g(x) et lim f = +∞ | Minoration | lim g = +∞ |
| f(x) ≥ g(x) et lim f = −∞ | Majoration | lim g = −∞ |
| h ≤ f ≤ g, lim h = lim g = ℓ | Gendarmes | lim f = ℓ |
Réflexe 4 — Identifier et écrire une asymptote
| Type | Condition | Équation |
|---|
| Verticale x = a | lim f(x) = ±∞ quand x→a | x = a |
| Horizontale y = a | lim f(x) = a quand x→±∞ | y = a |
| Oblique y = ax+b | lim [f(x)−(ax+b)] = 0 | y = ax+b |
Asymptote oblique : d'abord trouver a = lim f(x)/x, puis b = lim [f(x)−ax]
Dérivation & Convexité
Tangentes, tableaux de variation, convexité
Réflexe 1 — Formules de dérivation
| f | f' |
|---|
| k (constante) | 0 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| 1/x | −1/x² |
| √x | 1/(2√x) |
| eˣ | eˣ |
| ln(x) | 1/x |
| cos(x) | −sin(x) |
| sin(x) | cos(x) |
| u·v | u'v + uv' |
| u/v | (u'v − uv') / v² |
| u(v(x)) composée | v'(x) × u'(v(x)) |
Réflexe 2 — Étudier les variations de f sur [a;b]
2Étudier le signe de f' (résoudre f' > 0)
3En déduire les variations : f' > 0 → f croissante
4Calculer les valeurs aux bornes et aux extremums
Réflexe 3 — Équation de la tangente
y = f'(a)(x − a) + f(a)
Où a est le point de tangence. f'(a) = coefficient directeur (pente).
Réflexe 4 — Convexité
| f est... | f' est... | f'' est... |
|---|
| Convexe (tangentes en-dessous) | Croissante | positive (+) |
| Concave (tangentes au-dessus) | Décroissante | négative (−) |
Point d'inflexion : f'' change de signe → inflexion de la courbe
Fonction Exponentielle & Logarithme
Propriétés, relations fonctionnelles, dérivées
Réflexe 1 — Relations fonctionnelles (à mémoriser)
| Exponentielle | Logarithme |
|---|
| eᵃ × eᵇ = eᵃ⁺ᵇ | ln(ab) = ln(a) + ln(b) |
| eᵃ / eᵇ = eᵃ⁻ᵇ | ln(a/b) = ln(a) − ln(b) |
| (eᵃ)ᵇ = eᵃᵇ | ln(aᵇ) = b·ln(a) |
| e⁰ = 1 | ln(1) = 0 |
| eˡⁿ⁽ˣ⁾ = x | ln(eˣ) = x |
Réflexe 2 — Résoudre des équations
eᵃ = eᵇ ⟺ a = b
ln(a) = ln(b) ⟺ a = b (et a,b > 0)
Pour isoler x dans eˣ = k → x = ln(k)
Pour isoler x dans ln(x) = k → x = eᵏ
Réflexe 3 — Dérivées composées
| f | f' |
|---|
| eᵘ | u'·eᵘ |
| ln(u) | u'/u |
| uⁿ | n·u'·uⁿ⁻¹ |
| √u | u'/(2√u) |
TVI & Corollaire du TVI
Existence et unicité de solutions
Réflexe 1 — Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)
Montrer qu'une équation f(x) = k admet AU MOINS une solution
1f est continue sur [a;b]
2k est compris entre f(a) et f(b) : k ∈ [f(a);f(b)] (ou [f(b);f(a)] si f décroissante)
Conclusion : f(x) = k admet au moins une solution α sur ]a;b[
Ne pas confondre : TVI → "au moins une" ; CTVI → "une unique"
Réflexe 2 — Corollaire du TVI (CTVI)
Montrer qu'une équation f(x) = k admet UNE UNIQUE solution
1f est continue sur [a;b]
2f est strictement monotone sur [a;b]
3k ∈ [f(a);f(b)] (ou [f(b);f(a)])
Conclusion : f(x) = k admet une unique solution α sur [a;b]
Primitives & Calcul Intégral
Trouver une primitive, calculer une intégrale
Réflexe 1 — Table des primitives usuelles
| f(x) | Primitive F(x) |
|---|
| k | kx + c |
| xⁿ (n ≠ −1) | xⁿ⁺¹/(n+1) + c |
| 1/x | ln|x| + c |
| 1/√x | 2√x + c |
| eˣ | eˣ + c |
| cos(x) | sin(x) + c |
| sin(x) | −cos(x) + c |
Réflexe 2 — Primitives composées (reconnaître u'f(u))
| f(x) à reconnaître | Primitive |
|---|
| u'·uⁿ (n ≠ −1) | uⁿ⁺¹/(n+1) + c |
| u'/uⁿ (n ≠ 1) | −1/((n−1)uⁿ⁻¹) + c |
| u'/√u | 2√u + c |
| u'/u | ln|u| + c |
| u'·eᵘ | eᵘ + c |
| u'·cos(u) | sin(u) + c |
| u'·sin(u) | −cos(u) + c |
Toujours vérifier que u' apparaît bien devant !
Réflexe 3 — Primitive qui s'annule en a
Trouver c : résoudre F(a) = 0, ce qui donne la valeur de c.
∫ₐᵇ f(x)dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a)
Équations Différentielles
y' = ay et y' = ay + b
Réflexe 1 — Résoudre y' = ay
Solution générale :
f(x) = C·eᵃˣ avec C ∈ ℝ
Si condition initiale f(x₀) = y₀ → substituer pour trouver C.
Réflexe 2 — Résoudre y' = ay + b
Solution générale :
f(x) = C·eᵃˣ − b/a avec C ∈ ℝ
−b/a est la solution particulière constante (chercher f' = 0 → y = −b/a)
Réflexe 3 — Résoudre y' = ay + f(x)
1Vérifier que u(x) donné est une solution particulière : u'(x) = a·u(x) + f(x)
2Résoudre y' = ay → C·eᵃˣ
3Solution générale : S(x) = C·eᵃˣ + u(x)
Probabilités & Loi Binomiale
Variable aléatoire, Bernoulli, loi B(n,p)
Réflexe 1 — Variable aléatoire
E(X) = x₁·P₁ + x₂·P₂ + ... + xₙ·Pₙ (espérance)
∑P = 1 (somme des probabilités = 1)
Réflexe 2 — Reconnaître une loi binomiale
3 conditions à écrire explicitement
1On répète de façon identique et indépendante une expérience aléatoire
2L'expérience a exactement 2 issues : succès S (prob p) et échec S̄ (prob 1−p)
3X compte le nombre de succès → X ~ B(n, p)
Réflexe 3 — Calculs avec B(n, p)
P(X = k) = C(n,k) · pᵏ · (1−p)ⁿ⁻ᵏ
E(X) = np V(X) = np(1−p) σ(X) = √(np(1−p))
Réflexe 4 — P(X ≥ k) et P(X ≤ k)
P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k−1)
P(X ≤ k) = P(X=0) + P(X=1) + ... + P(X=k)
Penser au complémentaire pour "au moins k" : plus rapide !
Géométrie dans l'espace
Vecteurs, droites, plans, orthogonalité, repère paramétrique
Réflexe 1 — Vecteurs colinéaires vs coplanaires
| Notion | Définition | En coordonnées |
|---|
| Colinéaires | AB⃗ = k·CD⃗ | x/x' = y/y' = z/z' = k |
| Coplanaires | AB⃗ = a·CD⃗ + b·EF⃗ | Système linéaire à résoudre |
Réflexe 2 — Position relative droite/droite
| Situation | Vecteurs directeurs | Point commun |
|---|
| Confondues | Colinéaires | Oui |
| Parallèles (distinctes) | Colinéaires | Non |
| Sécantes | Non colinéaires | Oui (à trouver) |
| Non coplanaires | Non colinéaires | Non |
Réflexe 3 — Droite/Plan
| Situation | Vecteurs directeurs de la droite |
|---|
| Droite // Plan | Coplanaires avec vecteurs du plan |
| Droite incluse dans Plan | Coplanaires + point commun |
| Droite coupe Plan | Non coplanaires → trouver l'intersection |
Réflexe 4 — Parallélisme de plans
Deux plans sont parallèles si et seulement si deux droites sécantes du plan 1 sont parallèles aux deux mêmes droites du plan 2.
Réflexe 5 — Repère paramétrique / équation de droite
Droite passant par A(x₀,y₀,z₀) et de vecteur directeur u⃗(a,b,c) :
x = x₀ + t·a
y = y₀ + t·b
z = z₀ + t·c (t ∈ ℝ)
Réflexe 6 — Orthogonalité
u⃗(a,b,c) ⊥ v⃗(a',b',c') ⟺ a·a' + b·b' + c·c' = 0 (produit scalaire = 0)
Vecteur normal à un plan ax+by+cz+d=0 est n⃗(a,b,c)
Distance d'un point M(x₀,y₀,z₀) à un plan ax+by+cz+d=0 :
d = |ax₀+by₀+cz₀+d| / √(a²+b²+c²)